Монгольскими не владею . Но тюркские - понимаю . Уйгурский - тюркский язык . "Курт" - это сушёный творог , из топлёного катыка (простокваши) . По варианту татарского языка -"корт".
По толковому словарю В. Даля , "куртать"- недомогать , хворать , хромать .
Если так заморачиваться , то надо учитывать , что многие общеупотребительные слова русским народом позаимствованы из татарского языка : карандаш , скамья , сундук , балык , майдан , деньга и пр .
А вот то , что русский мат произошёл от татарского языка - так это полная ерунда (кстати , "ерунда"- тоже слово татарского происхождения
) , так как по-татарски все эти нецензурные слова и ругательства звучат совершенно по другому , даже нет ничего общего .